3. Kombinasi

3.      KOMBINASI

Kombinasi adalah banyaknya cara untuk menyusun n unsur yang berbeda tanpa ada unsur yang diulang dari unsur tersebut dan tanpa memperhatikan urutan.

Perhatikan :

Ani, Budi, Cici. Eko akan membuat susunan organisasi terdiri dari Ketua, sekretaris dan bendahara selain itu  akan membentuk jadwal piket di kantor terdiri dari 3 orang maka banyak susunan yang mungkin adalah :

a    .1.       Susunan organisasi

Susunan : Ketua, Sekretaris, Bendahara

1.      Ani, Budi, Cici

2.      Ani, Cici, Budi

3.      Budi, Ani, Cici

4.      Budi, Cici,  Ani

5.      Cici, Ani, Budi

6.      Cici, Budi, Ani

7.      Ani, Budi, Eko

8.      Ani, Eko, Budi

9.      Budi, Ani, Eko

10.  Budi, Eko, Ani

11.  Eko, Ani, Budi

12.  Eko, Budi, Ani

Dan seterusnya sampai ada 24 susunan

Maka banyaknya susunan adalah 4 x 3 x 2 = 24 susunan

      B.       Jadwal piket

Grup 1 : Ani , Cici, Budi  = Ani, Budi, Cici = Ani, Cici, Budi

Grup2  : Ani, Cici, Eko

Grup 3 : Ani, Budi, Eko

Grup 4 : Budi, Cici, Eko

Maka untuk jadwal piket hanya ada 4 grup.

maka dapat dibedakan mana kasus yang menggunakan permutasi dan kombinasi .

dan Untuk Kombinasi ada 2 :

  A.    KOMBINASI DARI UNSUR-UNSUR YANG BERBEDA

Secara umum untuk menyusun k unsur tanpa ada unsur yang diulang dari unsur tersebut dan tanpa memperhatikan urutan yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan   k  ≤   n   disebut Kombinasi dan dirumuskan :

Contoh : 

1. Ani, Budi, Cici. Eko akan membuat kelompok jadwal piket, maka banyaknya kelompok adalah : 

n= 4   k= 3

2. Dari 9 orang warga  akan membentuk jadwal kebersihan terdiri dari 4 orang. Tentukan banyaknya susunan yang mungkin !

Jawab :   

n = 9

k = 4

Dit :  ₉ C ₄  

JAdi banyaknya susunan yang mungkin adalah 126 susunan

     B.    KOMBINASI YANG MEMUAT  UNSUR-UNSUR YANG SAMA

Perhatikan :

Badrun  akan membeli 5 ekor sapi dan 3 ekor kambing dari Pak Edoy yang memiliki 7 sapi dan 5 kambing. Berapa cara Pak Badrun dapat memilih hewan hewan tersebut !

Maka :  pak Badrun dapat memilih 5 sapi dari 7 sapi yaitu :  ₇ C ₅     

dan memilih  kambing 3 dari 5 kambing  yaitu : ₅ C ₃     

Jadi pak Badrun dapat memilih sapi dan kambing dengan  21 x 10 = 210 cara

Secara umum jika terdapat n unsur yang terdiri dari  n₁ ,  n_{2 ....}n_e serta untuk unsur n₁ diambil  k₁ , n₂ diambil  k₂ dan   n_e diambil k_e maka banyaknya cara yang mungkin adalah   :

Contoh :

Dalam sebuah kotak terdapat 20 bola, dengan 8 warna merah  , 7 warna putih dan sisanya warna hitam. Berapakah banyanknya cara jika diambil 5 warna merah 3 warna putih  dan 2 warna hitam.

Dik :  20 Bola = 8 Merah + 7 Putih +  5 hitam

Dit :

8 merah diambil 5

7 putih diambil 3

5 hitam diambil 2

Jawab :

Jadi banyaknya cara adalah 56 . 35. 10 = 19.600 cara

Latihan :

1.       Dari sekelompok siswa yang terdiri dari : Roni, Fera, Dodon, Uhe, dan Dimas akan membentuk susuna kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, sekretaris, dan bendahara. Tentukan banyaknya susunan yang mungkin ! 

2.       Desi, Pitri, Mona, Nuni, Mira, Lusi, Seni, akan membentuk tim bola basket untuk pertandingan. Berapakah banyaknya susunan yang mungkin !

3.       Disediakan soal 10 Pilihan  jamak dan 5 uraian . Setiap siswa harus memilih 4 soal  Pilihan jamak dan 3 soal Uraian.  Berapakah kemungkinan siswa mengambil ususna soal !

4.       Pak H. Munawar akan membeli hewan  untuk qurban 5 sapi dan 4 kambing dari Pak H. Dori yang menyedian 10 sapi dan 8 Kambing. Berapakah banyaknya cara memilih hewan tersebut!   

Read More

2. Permutasi

2 . PERMUTASI :

Permutasi adalah banyaknya cara untuk menyusun n unsur yang berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang dari unsur unsur tersebut.

A.    PERMUTASI DARI UNSUR YANG BERBEDA

Perhatikan !

Budi akan membuat plat  nomor terdiri dari dua angka  yang berbeda   dari angka 1,2,3,4   contohnya :

Maka susunannya : 12,13,1,4, 21,23,2,4, 31,32,34, 41,42,43

Atau :

Maka untuk susunan k unsur tanpa ada unsur yang diulang yang diambil dari n unsur yang berbeda dengan r ≤ n disebut permutasi k unsur dari n unsur yang tersedia, dan dinotasikan :

Contoh: 

1.      Rido mempunyai angka;  2,3,4,5,6,7,8  ia akan membentuk bilangan yang terdiri dari 3 angka yang berbeda. Tentukan banyaknya susunan yang mungkin !

Alternatif penyelesaian :

n = 7

r = 3         

jadi banyaknya susunan bilangan yang mungkin ada 840 susunan

2.    Tentukan banyaknya kata yang dapat dibentuk dari hurup MATE

Penyelesaian :

n= 4

r =4

jadi banyaknya kata yang mungkin ada 24 susunan

B.    PERMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA

Perhatikan :

Berapa kata yang dapat disusun dari kata INI ?

Jawab : Jika digunakan rumus permutasi dengan n =3 dan r = 3 maka

Tetapi sebenarnya kata yang dibentuk hanya ada 3 yaitu INI, IIN, NII

Ini terjadi karena ada huruf yang sama yaitu I

Sehingga untuk permutasi n unsur yang memuat r₁ unsur yang sama, r₂ unsur yang sama  ...hingga r_n dan r_{1 +} r_{2 + ....} r_n = n maka dirumuskan :

Contoh : Tentukan banyaknya susunan hurup dari kata  KATAK

Jawab : n= 5

              r₁ = 2 yaitu K

              r₂ = 2 yaitu A

Jadi banyaknya susunan hurup yang mungkin sebanyak 30 susunan.

C.    PERMUTASI SIKLIS

Permutasi siklis dari n unsur yang tersedia yaitu memperhitungkan tempat kedudukan pada lingkaran atau tempat kedudukan secara melingkar.

Perhatikan :

a)      Jika Budi dan Doni  duduk secara melingkar

           b) Jika Ani, Budi dan Cici  duduk secara melingkar

Untuk tiga orang ada 2 kemungkinan. 

Maka secara umum jika ada n unsur yang berbeda dan disusun secara siklis / melingkar maka banyaknya susunan yang terjadi adalah :

contoh :
Adi, Budi, Caca, Deni dan Eki akan duduk secara melingkar. 
Maka banyaknya susunan temapat duduk adalah : (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 susunan.

A.    PERMUTASI BERULANG

Dari huruf A, D, I akan disusun 2 huruf  dan boleh mengandung unsur yang sama maka susunanya adalah :

AA, AD, AI, DA, DI, DD, IA, ID , II  

Untuk 3 hurup menjadi 2 huruf dan boleh berulang ada 9 susunan

Maka banyaknya kemungkinan r unsur dari n unsur yang tersedia dan boleh berulang  adalah :

 

Contoh : Tentukan banyaknya susunan3 hurup dari kata MURID dan hurup boleh berulang

Jawab : n = 5  dan r = 3 boleh berulang

Jadi banyaknya susunan huruf adalah 125 buah

LATIHAN : 

1.      Roni mempunyai angka 1,2,3,4,5,6,7 akan mebuat plat nomor dengan bilangan ribuan yang berbeda. Berapakah banyaknya plat nomor yang akan dibuat?

2.      Anwar akan membuat label 2 huruf yang berbeda dari huruf  M,U,T,A,S,I. Berapakah jumlah label yang harus disediakan !

3.      Dari huruf  K,A,M,I,S, akan disusun menjadi susunan huruf yangberbeda. Berapakan jumlah  susunan yang akan terbentuk ?

4.      Tentukan banyak susunan huruf dari kata SELASA !

5.      Ani, Budi, Cici, Dina dan Erwin akan membentuk susunan organisasi terdiri dari Ketua, sekretaris dan bendahara. Tentukan banyaknya susunan yang terentuk !

6.       Ani, Budi, Cici, Dina dan Erwin akan melaksanakan rapat dengan duduk secara melingkar. Berapakah susunanan yang dapat terbentuk !

  

Read More

1. Filling Slots

1. Filling  Slots ( Bagian dari Kaidah Pencacahan  )

Untuk menyelasaikan masalah dalamkehidupan sehari hari misalnya:

1.       Kita mempunyai 3 kemeja berbeda warna dan 4 celana yang berbeda warna pula.

2.       Membuat label jika diberikan 6 angka membuat bilangan ribuan

3.       Pembuatan kemungkinan  jadwal piket 3 orang dari 5 orang yang tersedia.

4.       Membuat kemungkinan struktur organisasi terdiri dari ketua sekretaris bendahara dari 8 orang ada.

5.       Penyusunan nomor kendaraan.

Dapat digunakan kaidah pencacahan. Kaidah pencacahan (counting rules) adalah aturan yang digunakan untuk menghitung semua kemungkinan yang terjadi dalam suatu kejadian. Ada beberapa teknik pencacahan :

1.       Pengisian tempat ( Filling slots)  

2.       Permutasi

3.       Kombinasi

A.      TEKNIK PENGISIAN TEMPAT ( FILLING SLOTS)

Teknik Pengisian Tempat ( Filling Slots) disebut juga) aturan perkalian yakni menghitung semua kejadian menggunakan operasi perkalian.

CONTOH :

1.       Andi mempunyai kemeja  berwarna biru, merah dan putih dan batik, serta mempunyai celana berwarna Hitam, Biru dan coklat. Tentukan kemungkinan pasangan yang dapat terjadi dan berapa banyaknya pasangan yang dapat terjadi ?

Penyelesaian :

Maka Banyaknya  pasangan yang mungkin adalah 12 pasang
       atau

4 x 3 = 12 , jadi banyaknya pasangan kemeja selana adalah 12 pasang

Contoh Lain :  

     1.       Doni akan membuat  label untuk suku cadang menggunakan anggka 0, 1,2,3,4,5. Tentukan 

            banyak nya label jika

a.       Dibuat bilangan ribuan

b.       Bilangan ribuan  ganjil

       Penyelesaian  :       

            a.  Bilangan ribuan ( ada 4 angka untuk tempat Ribuan, ratusan, Puluhan satuan ) 

           Perhatikan tabel di bawah ini :

Sehingga banyaknya kemungkinan  : 5x6x6x6 = 1080

     Jadi banyanknya label yang akan dibuat 1080 buah

     b.  Bilangan ganjil : 1,3,5

hingga banyaknya kemungkinan : 5 x 6 x 6 x 3 = 540

Jadi banyaknya label ganjil yang akan di buat adalah  540 buah

LAtihan :
1. Rido akan membuat plat nomor  untuk meja belajar. Jika disediakan angka 1,2,3,4,5 dan dibuat nomor ratusan. berapakah plat nomor yang harus disediakan !
2. Disediakan angka   0,1,2,3,4,5 jika Mila akan membuat label dengan nomor ribuan  tentukan :
   a. banyaknya label jika tidak angka kembar
   b.  banyaknya label angka ganjil
   c.  banyaknya label kelipatan 5

Read More