Transformasi-3. Rotasi

3. Rotasi
Rotasi atau perputaran adalah suatu perubahan kedudukan atau posisi objek dengan cara diputar lewat suatu pusat dan sudut tertentu.
perhatikan video pembelajaran berikut :

Rotasi atau perputaran pada bidang datar ditentukan oleh :

   1. Titik pusat rotasi

   2. Besar  sudut rotasi

   3. Arah rotasi

Arah rotasi dikatakan :

   -  positif jika berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam

   - Negatif jika searah dengan arah putaran jarum jam

A.Rotasi +90° atau –270° pusat (0,0)

Perhatikan gambar berikut :

u  Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)

u  1) dirotasi  +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi

      segitiga A₂B₂C₂ dengan koordinat A₂(-9, 3), B₂(-3, 3), C₂(-3, 6)

Perhatikan : 

A(3, 9) menjadi A₂(-9, 3)

B(3, 3) menjadi B₂(-3, 3)

C(6, 3) menjadi C₂(-3, 6)

Jadi jika P(x, y ) di rotasi :90⁰  menjadi P’( -y, x )

Jadi jika P(x, y ) dirotasi :-270⁰  menjadi P’( -y, x )

dan dirumuskan :

contoh soal :

1. Titik D ( 6, -5 ) diputar dengan pusat (0,0) sejauh   90⁰ maka koordinat bayangannya menjadi 

     D'(5, 6 ) 

2. Andi berada pada titik A( 3, 9 ) berputar sejauh 270⁰ 70 searah jarum jam maka koordinat         

    bayangannya adalah A'(-9, 3 )   

B. Rotasi  +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) 
  Perhatikan gambar

u  Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)

u  dirotasi  +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi

u  segitiga A₄B₄C₄ dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C₄(-6, -3)

u   

u  Perhatikan : 

u  A(3, 9) menjadi A₂(-3, -9)

u  B(3, 3) menjadi B₂(-3, -3)

u  C(6, 3) menjadi C₂(-6, -3)

 Jadi jika P(x, y ) di rotasi :+180⁰  menjadi P’( -x, -y )

Jadi jika P(x, y ) dirotasi :- 180⁰  menjadi P’( - x, -y )

Dirumuskan :

contoh Soal : 
1. Reno berada pada titik R( -3, 5) kemudian diputar sejauh  180⁰   dengan pusat (0,0) maka koordinat bayangannya adalah R'( 3, -5 ) ( lihat rumus )
2. Titik L (8,-3 ) dirotasi sejauh -180⁰ maka koordinat bayangannya adalah L'(-8, 3) 

C.  Dirotasi  +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) 

Perhatikan gambar berikut :

u  Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)

u  menjadi  segitiga A₃B₃C₃ dengan koordinat A₃(9, -3), B₃(3, -3), C₃(3, -6)

u  Perhatikan : 

u  A(3, 9) menjadi A₂(9, -3)

u  B(3, 3) menjadi B₂(3, -3)

u  C(6, 3) menjadi C₂(3, -6)

 Jadi jika P(x, Y ) di rotasi :+270⁰  menjadi P’( y, -x )

Jadi jika P(x, Y ) dirotasi :-  90⁰  menjadi P’(  y, - x )

Dirumuskan :

contoh soal :

Titik K( 10,-3 ) dirotasi sebesar 270⁰ maka koordinat bayangannya menjadi  K,(-3, -10)

Jika dinyatakan dalam matriks untuk bayangan titik P (x,y ) dengan besar sudut putar sebesar α (positif) berlawanan arah jarum jam dengan pusat O (0,0) menjadi :

Contoh :

Titik A( 6,-5 ) dirotasi 90⁰ tentukan banyangannya !  

jawab :

jadi : koordinat A’=(5, 6 )

latihan :

1. Tentukan koordinat bayangan jika titik C (-7, 4 ) dirotasi 

     a)  90⁰

     b) -  90⁰

     c)  180⁰

     d)  270⁰

   

2. Titik A( 5, -6 ) dirotasi menjadi A'(  -5, 6 ) tentukan besar sudut rotasinya !

3. Tentukan besar sudut rotasi jika titik B ( 1, -8 ) menjadi titk B'( -1, 8 ) !

4. Tentukan besar sudut rotasi jika titik C( -2, -5 ) menjadi titk B'( -5, 2 ) !   

5. Gunakan matriks untuk menentukan bayangan jaka titik D (-8,3 ) dirotasi dengan α =  180⁰ 

Read More

Transformas-2. Refleksi

2.   PENCERMINAN/ REFLEKSI        

Pencerminan atau refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin.

      a.      Pencerminan terhadap sumbu x

    

             Perhatikan  titik dan bayangan pada koordinat cartesius di bawah ini !

dari keaaan tersebut dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu x

       1.      A(3,-4)

       2.      C(-8, 7)

       3.      E(9,0)

       4.      F(-5, -3)

       5.      G(0, -3)

2. Pencerminan terhadap sumbu y

Perhatikan gambar berikut :

Berdasarkan hasil pengamatan maka  dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu  y 

     1    A(3,-4)

     2.      C(-8, 7)

     3.      E(9,0)

     4.      F(-5, -3)

      5.      G(0, -3)

Diskusikan !

1.      Tentukan bayangan  dari titik P(-3, 4) direfleksikan terhadap sumbu x dan bayangannya direfeksikan  terhadap sumbu y

2.      Tentukan bayangan dari titik Q( -5,-2) direfleksikan terhadap sb x dan kemudian hasilnya ditranslasi  T ( -4, 1 )

3. Pencerminan terhadap sumbu y = x

Perhatikan  gambar  di bawah ini

S   Dan dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu  y = x

     1.      A(3,-4)

     2.      C(-8, 7)

     3.      E(9,0)

     4.      F(-5, -3)

     5.      G(0, -3)

Diskusikan !

     6.      Tentukan bayangan  dari titik P(-3, 4) direfleksikan terhadap sumbu y = x dan bayangannya direfeksikan  terhadap sumbu y

     7      Tentukan bayangan dari titik Q( -5,-2) direfleksikan terhadap sb y = x dan kemudian hasilnya ditranslasi  !

    4. Pencerminan terhadap sumbu y = -x

      Perhatikan gambar berikut !

         

maka didapat :

dan dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu  y =   -x

      1.      A(3,-4)

      2.      C(-8, 7)

      3.      E(9,0)

      4.      F(-5, -3)

      5.      G(0, -3)

    

     5. Pencerminan terhadap sumbu x = h  

      

         Perhatikan gambar berikut :

Koordinat A’ dari gambar (x’, y)    :      x yang berubah

Panjang  absisnya :     x+ (h-x) + (h – x)

                                =  x+ h –x +  h- x

                                = x – x – x + h + h

                                = - x + 2h

                                =  2h - x   

     1      Titik    A (1,2)   R : x= 3      A’ (5,2)     (  titik A dicerminkan terhadap  sumbu  x= 3)

            Untuk  x’ = 2h –x

                           = 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5 

      2.      B (2, -3 )  sb: x =3  bayangannya   B’ ( 2.3- 2 ,-3 ) = B’ (4, -3 )

      

       Dan dirumuskan :

       

        Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu  y =   -x

       1.      A(3,-4)  direfleksikan terhadap  x = 4

       2.      C(-8, 7) direfleksikan terhadap  x = -2

       3.      E(9,0)   direfleksikan terhadap  x = 6

       4.      F(-5, -3) direflesikan terhadap  x = -5

    

       5. Pencerminan terhadap sumbu y = k

      Perhatikan gambar berikut !

Koordina t B (2,1 ) bayangannya  B’ dari gambar (2, 5)    :      y  yang berubah

Panjang  absisnya :    y’= y + ( k-y)  + ( k – y)

                                      =  y + k –y + k – y

                                     =   y – y – y + k + k

                                     =   - y +  2k

                                     =   2k   -  y

Jadi  B (x, y) drefeksikan terhadap y = k menjadi B ‘ ( x,   2k – y )

 Contoh  

 Titik    B (2, 1)   Refleksi: y = 3      (  titik A dicerminkan terhadap  sumbu  x = 3)

 Untuk x’  tetap yaitu 2 dan untuk  y’ adalah  :

            Y’  = 2k – y

                  = 2. 3 – 1

      =  6 – 1

       = 5  

Jadi  B’(2, 5 )

Sehingga dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan : 

      1.      A(3,-4)  direfleksikan terhadap  y = 4

      2.      C(-8, 7) direfleksikan terhadap  y = -2  

      3.      F(-5, -3) direflesikan terhadap  y = -5

      4.      D (6,-3) direflesikan terhadap  y = k adalah D’(6, -9 )tentukan nilai k !

Read More

Transformasi-(1.Translasi )

Transformasi :  perubahan bentuk/kedudukan

Terdiri dari :

1.       Translasi  ( pergeseran )

2.       Refleksi  ( pencerminan )

3.       Rotasi  ( perputaran )

4.       Dilatasi (pembesaran/pengekecilan )

1.       Translasi

Translasi  ( pergeseran ) adalah suatu tranformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu diwakili oleh ruas garis berarah atau  

Contoh :

1. 

artinya   dari  titik A (2,3)  bergeser ke kiri 4 langkah dan  ke atas 2  langkah.  

Contoh No 2

Read More