FAKTORIAL

FAKTORIAL :

Didefinisikan :

Faktorial dari bilangan asli n adalah perkalian dari n bilangan asli yang terurut

Faktorial  dari n dinotasikan  n!  

Dan didefinisikan:

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......x (n-2)x (n -1 ) x n

n! = n x (n -1) x (n -2) x ......x 3 x 2 x 1

n= bilangan asli

Untuk :  0! Berapa hasilnya !

Perhatikan penjelasan berikut :

n! = n x (n -1) x (n -2) x ......x 3 x 2 x 1    persamaan (1)

(n- 1) ! =  (n -1) x (n -2) x ......x 3 x 2 x 1  persamaan (2)

Jika persmaan (2)  disubstitusi pada persamaan (1 ) diperoleh

n! = n x (n -1) x (n -2) x ......x 3 x 2 x 1

Tentukan hasil dari :

      1)      4!

       Jawab 4! =  4.3.2.1 = 24

       Atau         = 1.2.3.4 = 24

      2)      3! + 4!

      Jawab :

      = 3.2.1 + 4.3.2.1

      = 6 + 24 = 30  

      3)      (3 + 4) !

     Jawab :

     =  7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040

       5)      2!. 3!

        Jawab :

        = 2.1 . 3.2.1 = 12

      6)      (2.3)!

       Jawab :

       = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

     7)       Nyatakan dalam bentuk faktorial untuk

a)        6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Jawab : 6!

Latihan :

Tentukan hasil dari : 

      1.       6!

      2.       3! + 5!

      

 5.       Nyatakan dalam bentuk faktorial : 10 x 9 x 8

      

Read More

Penilaian Translasi & Refleksi OTKP3

Read More

Penilaian Translasi & Refleksi OTKP2

Read More

Transformasi 4. Dilatasi

4. DILATASI

·         dilatasi adalah trasformasi yang mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk  suatu bangun.

·         Perubahan ukuran dapat menjadi besar atau kecil sehingga dilatasi memiliki faktor yang dinotasikan dengan k 

Perhatikan gambar berikut :

Segitiga ABC ( berwaran hitam ) dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi: 

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

·         dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A₂B₂C₂ dengan koordinat A₂(1, 3), B₂(1, 1), C₂(2, 1)

A(3, 9)  didilatasi dengan  k = (1/3). Maka  A’= ( (1/3). 3 , 1/3). 9 ) = (1, 3 )

 B(3, 3) didilatasi dengan  k = (1/3). Maka  B’= ( (1/3). 3 , 1/3). 3 ) = (1, 1 )

C(6, 3) didilatasi dengan  k = (1/3). Maka  A’= ( (1/3). 6 , 1/3). 3 ) = ( 2, 1 )

Bangun segitiga  menjadi kecil dibanding dengan yang asal

·         dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A₃B₃C₃ dengan koordinat A₃(6, 18), B₃(6, 6), C₃(12, 6)

A(3, 9)  didilatasi dengan  k =  2. Maka  A’= ( 2. 3 , 2. 9 ) = (6, 18 )

 B(3, 3) didilatasi dengan  k =  2. Maka  B’= ( 2. 3 , 2. 3 ) = (6, 6 )

C(6, 3) didilatasi dengan  k =  2. Maka  A’= ( 2. 6 , 2. 3 ) = ( 12, 3 )

Bangun segitiga  menjadi lebih besar dibanding dengan yang asal

Perhatikan gambar berikut :

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Jika titik P (x, y) mengalami dilatasi terhadap pusat titik sembarang A (a, b) dengan faktor skala k menghasilkan titik P' (k (x - a) + a,  k (y - b) + b).  dan  dapat ditulis :

 

contoh soal :

1. Sebuah  garis AB dengan pangkal  A( 4.-8) titik ujung B(6, 2 )   dan didilatasi dengan pusat O(0,0)      faktor  skala k= -1  tentukan  koordinat titik AB setelah didilatasi !

jawab : A (4,-8) k=-2  maka  A' ( -2.4, -2 . -8 ) = ( -8, 16 )

             B (6, 2 ) k = -2 maka B' ( -2.6, -2 . 2 ) = ( -12, -4 ) 

 Jadi A'( -8, 16 )  dan B'( -12, -4 )

2. Sebuah  garis CD dengan pangkal  C( 2, 4) dan titik ujung  D(6,-8 )  serta  didilatasi dengan  faktor  skala k= 3  dan pusat P(1, 2).  Tentukan  koordinat titik AB setelah didilatasi !

Jawab :

 Titik C (2,4)  

  k=  3  

   P (1,2 ) atau P( a, b )

   maka  C'(x', y') 

     x'  = ( k( x - a ) + a  =  3 ( 2 -1) + 1

                                     =  3. 1 +  1

                                     = 5

    y'  = ( k( y - b ) + b  =  3 ( 4 -2) + 4

                                     =  3. 2 + 2

                                     = 8

Jadi titik C'( 5, 8 )

Titik D (6,-8)  

         k=  3  

         P (1,2 ) atau P( a, b )

         maka  D'(x', y') 

        x'  = ( k( x - b ) + b  =  3 ( 6 -1) + 1

                                     =  3. 5 +  1

                                     = 16

    y'  = ( k( y - b ) + b  =  3 ( -8 -2) + 4

                                     =  3. -10 + 4 

                                     = -30 + 4

                                     = -26

jadi titik D' ( 16, 26 ) 

LATIHAN

1. Sebuah garis PQ dengan pangkal  P( 2.-6) titik ujung B(8,-4 )    didilatasi dengan pusat O(0,0)      faktor  skala k= 1,5  tentukan  koordinat titik PQ setelah didilatasi ! 

2. Sebuah  garis LM dengan pangkal  L( 1, 4) dan ujung  M(-1, 2)   didilatasi dengan pusat O(2,0 )      faktor  skala k= -2  tentukan  koordinat titik LM setelah didilatasi !

Read More

Soal Ujian -XII Keperawatan

Read More

Soal Ujian XII RPL

Read More

Read More

Soal Ujian -2

Read More

Read More

Read More

Read More

Read More

Transformasi-3. Rotasi

3. Rotasi
Rotasi atau perputaran adalah suatu perubahan kedudukan atau posisi objek dengan cara diputar lewat suatu pusat dan sudut tertentu.
perhatikan video pembelajaran berikut :

Rotasi atau perputaran pada bidang datar ditentukan oleh :

   1. Titik pusat rotasi

   2. Besar  sudut rotasi

   3. Arah rotasi

Arah rotasi dikatakan :

   -  positif jika berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam

   - Negatif jika searah dengan arah putaran jarum jam

A.Rotasi +90° atau –270° pusat (0,0)

Perhatikan gambar berikut :

u  Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)

u  1) dirotasi  +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi

      segitiga A₂B₂C₂ dengan koordinat A₂(-9, 3), B₂(-3, 3), C₂(-3, 6)

Perhatikan : 

A(3, 9) menjadi A₂(-9, 3)

B(3, 3) menjadi B₂(-3, 3)

C(6, 3) menjadi C₂(-3, 6)

Jadi jika P(x, y ) di rotasi :90⁰  menjadi P’( -y, x )

Jadi jika P(x, y ) dirotasi :-270⁰  menjadi P’( -y, x )

dan dirumuskan :

contoh soal :

1. Titik D ( 6, -5 ) diputar dengan pusat (0,0) sejauh   90⁰ maka koordinat bayangannya menjadi 

     D'(5, 6 ) 

2. Andi berada pada titik A( 3, 9 ) berputar sejauh 270⁰ 70 searah jarum jam maka koordinat         

    bayangannya adalah A'(-9, 3 )   

B. Rotasi  +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) 
  Perhatikan gambar

u  Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)

u  dirotasi  +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi

u  segitiga A₄B₄C₄ dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C₄(-6, -3)

u   

u  Perhatikan : 

u  A(3, 9) menjadi A₂(-3, -9)

u  B(3, 3) menjadi B₂(-3, -3)

u  C(6, 3) menjadi C₂(-6, -3)

 Jadi jika P(x, y ) di rotasi :+180⁰  menjadi P’( -x, -y )

Jadi jika P(x, y ) dirotasi :- 180⁰  menjadi P’( - x, -y )

Dirumuskan :

contoh Soal : 
1. Reno berada pada titik R( -3, 5) kemudian diputar sejauh  180⁰   dengan pusat (0,0) maka koordinat bayangannya adalah R'( 3, -5 ) ( lihat rumus )
2. Titik L (8,-3 ) dirotasi sejauh -180⁰ maka koordinat bayangannya adalah L'(-8, 3) 

C.  Dirotasi  +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) 

Perhatikan gambar berikut :

u  Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)

u  menjadi  segitiga A₃B₃C₃ dengan koordinat A₃(9, -3), B₃(3, -3), C₃(3, -6)

u  Perhatikan : 

u  A(3, 9) menjadi A₂(9, -3)

u  B(3, 3) menjadi B₂(3, -3)

u  C(6, 3) menjadi C₂(3, -6)

 Jadi jika P(x, Y ) di rotasi :+270⁰  menjadi P’( y, -x )

Jadi jika P(x, Y ) dirotasi :-  90⁰  menjadi P’(  y, - x )

Dirumuskan :

contoh soal :

Titik K( 10,-3 ) dirotasi sebesar 270⁰ maka koordinat bayangannya menjadi  K,(-3, -10)

Jika dinyatakan dalam matriks untuk bayangan titik P (x,y ) dengan besar sudut putar sebesar α (positif) berlawanan arah jarum jam dengan pusat O (0,0) menjadi :

Contoh :

Titik A( 6,-5 ) dirotasi 90⁰ tentukan banyangannya !  

jawab :

jadi : koordinat A’=(5, 6 )

latihan :

1. Tentukan koordinat bayangan jika titik C (-7, 4 ) dirotasi 

     a)  90⁰

     b) -  90⁰

     c)  180⁰

     d)  270⁰

   

2. Titik A( 5, -6 ) dirotasi menjadi A'(  -5, 6 ) tentukan besar sudut rotasinya !

3. Tentukan besar sudut rotasi jika titik B ( 1, -8 ) menjadi titk B'( -1, 8 ) !

4. Tentukan besar sudut rotasi jika titik C( -2, -5 ) menjadi titk B'( -5, 2 ) !   

5. Gunakan matriks untuk menentukan bayangan jaka titik D (-8,3 ) dirotasi dengan α =  180⁰ 

Read More

Transformas-2. Refleksi

2.   PENCERMINAN/ REFLEKSI        

Pencerminan atau refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin.

      a.      Pencerminan terhadap sumbu x

    

             Perhatikan  titik dan bayangan pada koordinat cartesius di bawah ini !

dari keaaan tersebut dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu x

       1.      A(3,-4)

       2.      C(-8, 7)

       3.      E(9,0)

       4.      F(-5, -3)

       5.      G(0, -3)

2. Pencerminan terhadap sumbu y

Perhatikan gambar berikut :

Berdasarkan hasil pengamatan maka  dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu  y 

     1    A(3,-4)

     2.      C(-8, 7)

     3.      E(9,0)

     4.      F(-5, -3)

      5.      G(0, -3)

Diskusikan !

1.      Tentukan bayangan  dari titik P(-3, 4) direfleksikan terhadap sumbu x dan bayangannya direfeksikan  terhadap sumbu y

2.      Tentukan bayangan dari titik Q( -5,-2) direfleksikan terhadap sb x dan kemudian hasilnya ditranslasi  T ( -4, 1 )

3. Pencerminan terhadap sumbu y = x

Perhatikan  gambar  di bawah ini

S   Dan dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu  y = x

     1.      A(3,-4)

     2.      C(-8, 7)

     3.      E(9,0)

     4.      F(-5, -3)

     5.      G(0, -3)

Diskusikan !

     6.      Tentukan bayangan  dari titik P(-3, 4) direfleksikan terhadap sumbu y = x dan bayangannya direfeksikan  terhadap sumbu y

     7      Tentukan bayangan dari titik Q( -5,-2) direfleksikan terhadap sb y = x dan kemudian hasilnya ditranslasi  !

    4. Pencerminan terhadap sumbu y = -x

      Perhatikan gambar berikut !

         

maka didapat :

dan dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu  y =   -x

      1.      A(3,-4)

      2.      C(-8, 7)

      3.      E(9,0)

      4.      F(-5, -3)

      5.      G(0, -3)

    

     5. Pencerminan terhadap sumbu x = h  

      

         Perhatikan gambar berikut :

Koordinat A’ dari gambar (x’, y)    :      x yang berubah

Panjang  absisnya :     x+ (h-x) + (h – x)

                                =  x+ h –x +  h- x

                                = x – x – x + h + h

                                = - x + 2h

                                =  2h - x   

     1      Titik    A (1,2)   R : x= 3      A’ (5,2)     (  titik A dicerminkan terhadap  sumbu  x= 3)

            Untuk  x’ = 2h –x

                           = 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5 

      2.      B (2, -3 )  sb: x =3  bayangannya   B’ ( 2.3- 2 ,-3 ) = B’ (4, -3 )

      

       Dan dirumuskan :

       

        Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan ter hadap sumbu  y =   -x

       1.      A(3,-4)  direfleksikan terhadap  x = 4

       2.      C(-8, 7) direfleksikan terhadap  x = -2

       3.      E(9,0)   direfleksikan terhadap  x = 6

       4.      F(-5, -3) direflesikan terhadap  x = -5

    

       5. Pencerminan terhadap sumbu y = k

      Perhatikan gambar berikut !

Koordina t B (2,1 ) bayangannya  B’ dari gambar (2, 5)    :      y  yang berubah

Panjang  absisnya :    y’= y + ( k-y)  + ( k – y)

                                      =  y + k –y + k – y

                                     =   y – y – y + k + k

                                     =   - y +  2k

                                     =   2k   -  y

Jadi  B (x, y) drefeksikan terhadap y = k menjadi B ‘ ( x,   2k – y )

 Contoh  

 Titik    B (2, 1)   Refleksi: y = 3      (  titik A dicerminkan terhadap  sumbu  x = 3)

 Untuk x’  tetap yaitu 2 dan untuk  y’ adalah  :

            Y’  = 2k – y

                  = 2. 3 – 1

      =  6 – 1

       = 5  

Jadi  B’(2, 5 )

Sehingga dirumuskan :

Latihan : Tentukan  bayangan  dari tiap titik jika direfleksikan : 

      1.      A(3,-4)  direfleksikan terhadap  y = 4

      2.      C(-8, 7) direfleksikan terhadap  y = -2  

      3.      F(-5, -3) direflesikan terhadap  y = -5

      4.      D (6,-3) direflesikan terhadap  y = k adalah D’(6, -9 )tentukan nilai k !

Read More